Тема. Функциональные пространства

Одним из основных понятий математического анализа является понятие функ­циональной зависимости. Определение функциональной зависимости в анализе та­ково: пусть Х и У – два множества вещественных чисел; если каждому числу х из Х (х є Х) по некоторому закону (правилу) ставится в соответствие число у є У, то го­ворят, что на множестве Х определена функция у=f (x), область значений которой расположена в множестве У. Множество Х называемой еще областью определения.

Легко видеть, что идеи функциональной зависимости можно перенести на слу­чай, когда Х и У не являются множеством вещественных чисел, а является множест­вом неких абстрактных элементов (объектов), например, множеством токов или напряжений, которые являются функциями времени или другой переменной и т.д.

Введем теперь общее понятие определение функциональной зависимости.

Пусть даны два множества элементов Х и У, и дан закон (правило), согласно ко­торому каждому элементу х є Х, ставится в соответствие вполне определений эле­мент у є У. Тогда говорят, что задан оператор (абстрактная функция) у=Ах (пишут еще у=А[х], у=А(х)), определенный на множестве Х, с областью значений, расположен­ных в множестве У. В том случае, когда значения оператора является числа вещест­венные или комплексные, оператор называется функционалом.

Наряду с понятием функциональной зависимости другим важным понятием в анализе является понятие предела и связанное с ними понятие непрерывности.

Определение. Множество, в котором определено понятие предела последова­тельности элементов, называется абстрактным пространством.

Определение. Абстрактное пространство, элементами которых является функции или числовые последовательности, называются функциональным про­странством.

11.1 Метрические пространства

В математическом анализе вводится несколько понятий предела последователь­ности. Однако, все понятия сходимости имеют общее, что сходимости последова­тельности элементов хn (является числами, векторами или функциями) к элементу х означает неограниченное “сближение” хn к x, т.е. неограниченное уменьшение “расстояния” между этими элементами при неограниченное увеличение n. И в зависимости от того, как определено “расстояние” между элементами хn и x, получаем различные определение предела. Представляется целесообразным дать общее определение расстояния между элементами, которое обхватывало бы все случаи, а затем с помощью этого расстояния ввести в множестве элементов предельного перехода.

Определение 1. Множество R называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов х и у ( х є R, у є R) поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число (x,y) , удовлетворяющие следующим условиям:

Число (x,y) называется расстоянием между элементами х и у, перечисленные три условия – аксиомами метрики. Очевидно, что аксиомы метрики представляют собой формулировку наиболее общих свойств расстояния между точками трехмерного евклидового пространства.

Замечание 1. Очевидно, имея одно множество и метризуя его различными способами (определяя расстояние между элементами множества по-разному), получаем различные метрические пространства.

Замечание 2. Всякое подмножество R1 метрического пространства R (R1 R) в свою очередь является метрическим пространством с той же метрикой, что и в R

Определение 2. Последовательность элементов (точек) х1, х2,…хn,... метрического пространства R имеет своим пределом элемент (точку) х є R, пишут:

Если числовая последовательность сходится к нулю, т.е

.

11.2. Примеры метрических пространств

Числовая прямая. Пусть R – множество всех вещественных чисел (числовая прямая). Если х, y є R, то полагает . Справедливость аксиом метрики очевидна. Сходимости в этом пространстве есть обычная сходимость числовых последовательностей.

Евклидово пространство. Пусть R – арифметическое n-мерное пространство, т.е. множество всех упорядоченных систем из n вещественных чисел. Если

и

, то полагаем

Здесь также справедливость аксиом очевидна. Пусть

и , т.е.

при .

Это равносильно условию
при
().

Таким образом, сходимости в рассматриваемом пространстве есть сходимости по координатам.

Пространство непрерывных функций. Пусть множество R – множество всех непрерывных функций, заданных на отрезке [0,1] (если отрезком измерения переменной t есть [a, b], то его заме­ной можно преобразовать в отрезок [0,1]).

Введем метрику, полагая

Проверяем выполнение аксиом метрики. То что и лишь, если x(t)=y(t), а также, что , очевидно. Проверяем аксиому треугольника. Для любого tє[0, 1] имеем

Множество непрерывных функций, заданных на отрезке [0, 1], в котором метрика введена таким образом, называется пространством непрерывных функций и обозначается C[0,1].

Рассмотрим сходимости в пространстве C[0,1]. Пусть дана последовательность х1, х2,…,хn,… эле­ментов из C[0,1], сходящаяся к .
Это означает, что

при
, т.е.
,
также что при


а, следовательно

при

для всех tє[0, 1]. Но это значит, что последовательность

равно­мерно сходится к функции x(t). Верно и обратное утверждение. Таким образом, сходимость в про­странстве C[0,1] есть равномерное сходимость на отрезке [0, 1].

Пространство интегрируемых в квадрате на отрезке [a, b] функций (пространство L2), т.е пространство функций x(t), для которых существует интеграл

.

Метрика в L2 определяется формулой

Выполнение аксиом легко проверяется. Действительно то, что (x,y)0, причем (x,y)=0 только при x=y, а также что (x,y)=(y,x) – очевидно; аксиома же треугольника следует из равенства Мин­ковского для p=2:

11.3 Полнота метрических пространств

Определение 1. Последовательности , точек метрического пространства R называется фун­даментальной, если (xm, xn)0 при m, n .

Определение 2. Метрическое пространство называется полным, если в нем каждая фундамен­тальная последовательность сходится, т.е для каждой фундаментальной последовательности существует такая точка х є R , что .

На основании этих определений легко обобщается на полные метрические пространства необ­ходимый и достаточный признак Коши сходимости последовательности.

Теорема. Для сходимости последовательности элементов полного метрического пространства необходима и достаточна ее фундаментальность.

Все рассматриваемые ранее метрические пространства полные.

11.4. Принцип сжатых отображений

Метод последовательный приближений или итераций, широко используемый для доказатель­ства теории существования алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравне­ний, а также для получения приближенных решений уравнения, укладывается в рамках функ­ционального анализа в общую схему и приводит к принципу сжатых отображений.

Теорема. Пусть в полном метрическом пространстве R дан оператор A, переводящий элементы пространства R в элементы этого пространства. Пусть кроме того

,

где 0<<1. Тогда существует и притом единственный неподвижный элемент, т.е такой элемент x0, что A (x0)= x0.

Доказательство. Возьмем произвольный элемент x1 є R и положим

xn+1=Axn, .

Покажем, что последовательность — фундаментальна. Для этого заметим, что

Далее, используя последовательно аксиому треугольника для метрики, имеем

(11.1)

Отсюда следует, в силу того что 0<<1, то последовательность

— фундаментальна. Из полноты пространства R вытекает существование элемента x0 є R, для которого
.

А так как

и каждое из слагаемых справа при n стремится к нулю, то

х0=Ах0.

Если в формуле (1) перейти к пределу при p, то придем к оценке погрешности приближения

Замечания 1. Построение последовательных приближений xn сходящихся к неподвижному эле­менту x0, можно производить, исходя из любого элемента x1 є R. Выбор x1 элемента будет сказываться лишь на скорости сходимости xn к x0 своему пределу.

Примеры применения принципа сжатия отображений.

Пусть Rn – арифметическое n – мерное пространство и x=(x1, x2, … , xn), y=(y1, y2, … , yn) є Rn. Введем метрику в этом пространстве сле­дующим образом

Легко показать, что определенное таким образом метрическое пространство полное. Рассмот­рим в этом пространстве оператор А: у=Ах, заданный с помощью равенства:

Имеем :

Если ,то оператор А имеет единственную неподвижную точку. Таким образом при условии, что , система алгебраиче­ских уравнений

имеет единственное решение при любых правых частях и это решение с любой степенью точности можно получить с помощью рекуррентного соотношения

xn+1=Axn, ,

где любой набор n упорядоченных чисел.

Рассмотрим алгебраические или трансцендентные уравнения

х— f(x)=0. (11.2)

Пусть функция f(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке[a, b], при чем на этом отрезке . Рассмотрим множество действительных чисел как полное метрическое пространство с мет­рикой . Покажем, что отображение

(11.3)

удовлетворяет принципу сжатых отображений. Другими словами существует единственный корень уравнения (2) на [a, b]:

, є [a, b].

Так как 0<<1, то отображение сжимающее.

Приближенное значение корня можно найти с помощью итерации

xn+1=f(xn), (n=1,).

Укажем еще на одно применение принципа сжатых отображений.

Пусть функция f(x,y) определена в области , непрерывна по x и имеет ограниченную производную по y, такую, что . Тогда уравнение (6.3) имеет единственное решение на сегменте [a, b].

Для доказательства рассмотрим полное метрическое пространство С всех непрерывных на [a, b] функций с метрикой (y1,y2)=|y1 — y2| и отображение этого пространства самого в себя:

Покажем сжатости этого отображения. Пусть y1, y2 є С, тогда

Доказанное положение находит следующее приложение. Пусть требуется вычислить значение непрерывной функции для данного аргумента, когда непосредственное вычисление затрудни­тельно. Тогда записываем данную функцию в неявном виде , и если f(x, y) непрерывна и имеет ограни­ченную производную по y: то

где Откуда получаем

,

Значение заменяем приближенным значением и получаем итерационную формулу .

Если f(x,y)=y2, то .